특이하고 낯선 '이산시간 복소함수$ ( $Discrete-Time Complex Exponential$ ) $'에 대해 알아보기 | 주기성 | D-T | C-T와의 비교

📖 서론
고등학교, 대학교 동안 그만큼 많은 문제를 풀어보고 자주 접한 함수들은 거의 대부분 연속시간$ ( $Continous Time, C-T$ ) $함수들이다. 그래서 sin(t), C-T 복소삼각함수인 $ sin(jw_0t) $, 더 나아가서 $ e^{jw_0t} $와 같은 함수들이 주기성을 갖는다는 것은 쉽게 받아들일 수 있다.

- 그런데 D-T와 관련된 함수들은 특이하고 낯설다. 모든 $ w_0 $에 대해서 주기함수인 $ e^{jw_0t} $와 다르게, $ e^{jw_0n} $은 주기함수일 수도 아닐 수도 있다. 이렇게 헷갈리는 주기성을 위주로 정리해보았다.

[신호와 시스템] 공부를 위한 목차 및 색인 $ ( $주제별 링크 + 단원별 정리 + 공부에 도움되는 자료들$ ) $

💬 배경지식
- D-T 함수란? : 링크

❗줄임말
- D-T : Discrete-Time, 이산시간
- C-T : Continous-Time, 연속시간

1. D-T Complex Exponential의 형태

D-T는 n이 변수

위의 항과 같이 자연상수의 지수에 $ jw_0n  $이 올라가 있고, n이 변수(정수값만 가능)이다.

 

오일러 공식

 

당연히 위와 같이 오일러 공식으로도 표현 가능하다.

 

 

 

 

2. 주파수$ ( $Frequency$ ) $

: 허수 j와 변수 n을 제외한 부분이 모두 '주파수$ ( $frequency$ ) $'인데, 아래 그림과 같이 '빨간색 네모' 자리에 들어가는 모든 것이 주파수라고 생각하는 것이 편하다.

• $ w_0 $이 주파수다라고 공식만 외우게 되면 $ e^{jkw_0n} $ 이런 꼴이 나올 때 간혹 헷갈린다.
• 주파수는 '실수'이다.
  • 복소수인 주파수도 존재하나..? 모르겠다

j, n을 제외한 부분이 주파수

 

 

 

 

3. 주기성$ ( $Periodicity$ ) $

: 보통 D-T에서는 주기를 N이라 한다. $ ( $C-T에서 T라고 하는 것과 대조적$ ) $

• D-T Complex Exponential 중 주기를 갖는 것은 일부에 불과하다!!!
  • 즉, 특정한 조건을 만족해야지만 주기성을 갖는다. 이 특정한 조건은 <4. 주파수와 주기성의 관계>에서 다룬다.

 

 

 

 

4. 주파수와 주기성의 관계

4.1 D-T 복소지수함수가 '주기함수'이기 위한 '주파수'의 조건

만약 D-T 복소지수함수가 주기함수라면, 주기 N과 주파수 $ w_0 $의 관계는 다음과 같은 식을 만족한다. 이때 m은 정수이다.

m은 정수이다

 

N은 자연수이므로(D-T 함수의 주기는 당연히 자연수다!!) m의 역할은 아래와 같다.

m의 역할

 

m에 의해 $ ( 2{pi}/w_0 } $가 자연수가 되기 위해서는  $ ( 2{pi}/w_0 } $