$ e^{jkw_0t} $를 푸리에 변환하면 $ \delta(w-kw_0) $이다.

📖 서론
$ e^{jkw_0t} $는 푸리에 급수의 기저벡터들로, 매우 중요하다. 이를 FT하면 $ \delta(w-kw_0) $인데, 푸리에 변환 공식을 직접 이용하면 구하기 힘들다. 오히려 '푸리에 역변환' 공식을 이용하여 간접적으로 유도하면 쉽고 기억하기도 좋다. 이 유도 방법을 정리하였다.

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💬 배경지식
- 푸리에 변환
- 푸리에 역변환
- 임펄스 함수 $ \delta $

❗줄임말
- FT : Fourier Transform, 푸리에 변환
- IFT : Inverse Fourier Transform, 푸리에 역변환

 

1. $ e^{jkw_0t} $의 FT를 구하기 위해 FT 공식 이용하기 : not good..

FT 공식

 

위의 FT 공식에 x$ ( $t$ ) $ 대신 $ e^{jkw_0t} $를 넣고 계산해보면,

애초에 위 끝에 대해서 발산해버려서 이런식으로 적분이 불가능하다

 

뭔가 뭔가임을 확인할 수 있다.

 

물론 다른 방식으로 계산하면 할 수는 있다고 한다.

 

 

 

 

2. $ e^{jkw_0t} $의 FT를 구하기 위해 IFT 공식 이용하기 : good!!

FT를 구하기 위해 IFT 공식을 이용해볼 생각을 한다면, 한결 수월해진다.

IFT 공식

 

 

 

위의 FT 공식에 x$ ( $t$ ) $ 대신 $ e^{jkw_0t} $를 넣고, 붉은 네모 자리에 무엇이 들어가야 하는지 맞추면 된다.

 

 

좌우변에 모두 비슷하게 생긴 지수함수가 있고, 우변을 적분한게 좌변이므로, $ \delta $를 쉽게 떠올릴 수 있다.